4 +

"46 AE

4 À:

SR 4 UE LE

les DA

éd &

ae ete Jaiqrià 4e 4 }4 57

4

to à Le)

PAC RTS

W

mA

47

Lo LROEPAURE Vos #

# ir

A fr Murs

1

ee db

# RATE

++

À sw @3 à 2 4 4-M4o 4

EURE æ VAE he de Le fil Pi Le ARTE

4 RNA #48

4 lot dhnde ie QU aies # A PE tu

4 1 ;

+4 MU WA N 'R 4

4 MY MARS

14 8

L'ikélub 4144

Ce EAN)

ACC REAES CAE M URLR LR

ü

+

414 MERE MAO) AA GA:

AA

2 FU

A 3 NET OL PE PE CE OT COR RAA PAC ER CE ME PE PPT RP EEE PO TE P 4 ll

|

El

.%

J

Lx ag à

i A AE

CR »

A af area A LOL DES DE DE EE AL MS

ZA pe de Yelle Pie PACE ETC SUE iso

el

hi

nr

A "2 | ) LR HT 4 AU

lÉLRE LA MES AU EALES

ve à

“ie ns)

(LA A SC TER A AAC PET a Apte t4" lg 448 de %

nou cs FA aS A

ne + (TRS BETA EE 2 tn datjoag 47 D 'ACUTE DEA

Hi

ls à Fogal 5 0

HUE LEE (ne a à gent Me 4e Pie de 4

ea ER RUEAS

#4 ALLAN DE ALES AN

À tord LA # 2 hi} LA FN Fe

4 4 TA DR APN ANNEE

à Fit

en + ? rentes 50:41 pehe 4

airs PATATE UE D toi tif > FRNLNIT EE

RPC UMR Fe

u à Are) ECS ARTE EE TATIL EE SF DE CAS CA ES PA) 4 LA #5 N

48 à db

DRAC CH RME TEL

D'AUAAU APR

PTE 44 à: CR

ea 4 phoderk :Haî ar La DELL NE AS POUR ARS

Î ui

NAT e ke LEURS PUR y Vata (PL

su ÿ ù CURE:

DA @ 4

A 4

jee k n

1 due

RARE CAR APR

es)

qu A na

4 nt À RAD NNT AACE AE

“AE + Î ne “0

EU THE 1 AIN RUE s su “4 RE [Ras FE ANNEE Meur RAT PTE

tar tt CAL RATE

AU HA) ne CHER pe Art AU

À “yat ds à LE EUR CAUSE LA E A HN EE HUPT PE

Ee

ÉTiret,

Ba AR AE NN

=: PRET TS se %<

É pe

RE

BST

*

=

= Es

FE FT = LR ES

=

(ES ten Fa

| LE) RRQ

RAA A

"

Digitized by the Internet Archive in 2022 with funding from University of Illinois Urbana-Champaign

_ https///archive.org/details/analyseappliquee00lero

ANALYSE.

% APPLIQUÉE

À LA GÉOMÉTRIE

DES TROIS DIMENSIONS.

Ouvrage du même auteur, auquel ‘se rapportent les renvois indiqués dans ce volume.

#

TRAITÉ DE GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, avec un atlas de 6o plan- ches, 2 vol. in-4°, 20 fr.

D 2 TMPRIMERIE DE BACHELIER, rue du Jardinet, 12.

x

| ANALYSE

APPLIQUÉE

À LA GÉOMÉTRIE

DES TROIS DIMENSIONS,

COMPRENANT

LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ, AVEC LA THÉORIE GÉNÉRALE- DES SURFACES COURBES ET DES LIGNES A DOUBLE COURBURE ;

PAR C.-F.-A LEROY,

Professeur à l'École Polytechnique, Maïtre de Conférences à l'École Normale, Chevalier de la Légion-d'Honneur, etc.

SECONDE ÉDITION,

REVUE ET AUGMENTÉE.

PARIS, BACHELIER, IMPRIMEUR- LIBRAIRE

DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, QUAI DES AUGUSTINS, D5.

RAARA PS ANRRARNAN

1835

Au à L Fa

ee" À

“AMOIÉ L

à pi Mrs FL LE FA YRE cs

R > 4 sf “g

nero 99 on cute

72 ee DL}

v\

Il est assez reconnu que, pour étudier la Géomé- trie avec succès, on doit joindre aux considérations synthétiques les ressources que présente l'Analyse pour découvrir, entre les diverses grandeurs, des relations que souvent on n'aurait pas soupconnées, et dont les méthodes graphiques font ensuite d’utiles applications aux arts. On peut sans doute revêtir ces théorèmes d’une forme plus sensible, en les démon- trant de nouveau à l’aide de constructions géomé- triques ; et celles-ci d’ailleurs , employées comme un moyen de recherche, ainsi que le fait la Géométrie descriptive, mi féstént souvent par elles-mêmes des propriétés qu'on n'aurait pu démêler parmi les for- mules compliquées de l'Analyse; mais si l’on veut réunir ces divers avantages, 1l faut savoir employer tour à tour les deux méthodes, de manière qu’elles se prètent un mutuel appui, et c'est aussi comme complément du Cours de Géométrie descriptive que j'ai cherché à présenter ici l'application de l’Analyse à la Géométrie des trois dimensions. Dans ce dessein, je me suis atlaché à faire ressortir, parmi les pro- priétés des lignes et des surfaces courbes, celles qui servent de bases aux opérations Haba , OU qui peuvent offrir des moyens de les simplifier. Aimsi,

553827

v] AVERTISSEMENT.

après avoir ramené l'équation générale du second degré aux deux formes les plus simples, par la con- sidération des plans diamétraux et de leurs cordes conjuguées, dont l’emploi si avantageux dans plu- sieurs circonstances est à M. J. Binet, je discute successivement les cinq genres de surfaces de cet ordre; mais j'insiste principalement sur les divers modes de génération par la ligne droite qu’admet- tent plusieurs de ces surfaces, qui par deviennent d’un usage fréquent dans la Coupe des pierres et dans la Charpente. Les sections circulaires, qu'il est aussi quelquefois nécessaire d'employer, me fournissent Voccasion de redresser une erreur assez générale- ment répandue sur la direction précise des plans qui les donnent; et, dans la discussion immédiate d’une équation numérique du second degré, j'ai assigné des caractères simples et exclusifs pour chaque genre par- ticulier de surfaces : puis, en imitant la marche de M. Cauchy dans ses Exercices, j'ai rattaché à la théo- rie des cordes principales les conditions qui expri- ment que la surface est de révolution.

Le chapitre des plans tangens m'offre l’occasion de rectifier les idées souvent fausses que les élèves se forment du contact d’une surface avec un plan ; x et d ailleurs c’est le moment d'établir avec précision la différence essentielle qui existe entre les surfaces gauches et les surfaces développables, quoique les unes et les autres soient réglées, c'est-à-dire engen- drées par la ligne droite. Dans les deux chapitres qui suivent , je de les équations générales de ces deux classes de surfaces, ainsi que celles des cônes, des

AVERTISSEMENT. vÿ cylindres, etc.; et j'ai soin d'y ajouter de fréquens exemples, en choisissant particulièrement les surfaces gauches, développabies ou de révolution, dont on fait usage dans le Cours de Géométrie descriptive. Je m'occupe ensuite de la courbure des sections faites dans une surface , et de ses lignes de courbure; car ce sont des données dont l'emploi est encore néces- saire dans plusieurs parties de ce Cours; puis, en fai- sant connaître les beaux résultats que Monge a ob- tenus pour les lignes de courbure de l’ellipsoïde, j'ai complété la théorie présentée par cet auteur, en dé- montrant que la constante arbitraire qu'il nomme 6 devait nécessairement recevoir, pour chaque point de Vellipsoïde , deux valeurs de signes contraires, tandis que l’autre constante 7 devait toujours être de signe opposé à 6, pourvu que la projection füt faite sur le plan qui contient l’axe maximum et l'axe moyen. Il est d'autant moins permis d'établir gratuitement ces relations entre 6 et +, qu’elles ne sont plus vraies quand on applique la même équation à la projection des lignes de courbure sur le plan qui contient l'axe maximum etl'axe minimum, ce qui s'effectue sans rien changer aux calculs, maïs en modifiant seulement la grandeur relative des trois demi-axes désignés par a, b, c. Cest cette marche que j’emploie pour obtenir la seconde projection des lignes de courbure ; et par je trouve l’occasion d'utiliser un facteur de l'équa- on différentielle, que Monge négligeait, avecraison, dans le premier cas, mais qui, pour la projection ac- tuelle, fournit directement la solution singulière composée des quatre cordes supplémentaires, enve-

.

vi) AVERTISSEMENT.

loppes de toutes les ellipses sur lesquelles se projettent les lignes de courbure. Enfin, je donne, pour les li- gnes courbes quelconques, la manière d'obtenir les tangentes, les plans normaux ou osculateurs, et les . rayons de courbure de ces lignes, en faisant remar- quer la différence essentielle qui existe entre ces rayons et ceux des véritables développées.

Dans cette nouvelle édition , j'ai éclairei et déve- loppé beaucoup de détails, amélioré plusieurs théo- ries, telles que la détermination du centre dans l’'hyperboloïide gauche, la recherche des sections circulaires , et la discussion des équations numériques du second degré : dans cette dernière partie, j'ai fait voir que l'emploi de la règle de Descartes suffisait pour classer toutes les surfaces deuées d’un centre, même quand les coordonnées sont obliques; et pour les autres surfaces, j'ai simplifié les règles qui font discerner leur forme particulière, en ajoutant d'ail- leurs des exemples numériques de tous les cas. Quant au chapitre de la courbure des surfaces, je lai re- fondu entièrement, pour y insérer la méthode de M, Poisson; et jy ai discuté avec soin les questions

relatives aux ombilics, en m’appuyant sur des calculs nouveaux.

AV OV AAAAANAANANAAA AV VV NV UV ER VU VU UV UV UNIV NN AAA

TABLE DES MATIÈRES.

en ——

CHAPITRE PREMIER. Notions préliminaires.

Manière de représenter par des équations la position des points et la forme des lignes dans l’espace, Teovnat

CHAPITRE IT.

Problèmes sur les Lignes droites.

Équations d’une droite assujettie à passer par deux points, etc., 22....24

Conditions pour que deux droites se coupent, 25....26 Angles d’une droite avec les axes coordonnés, EEE D Angle de deux droites, 32....34 Conditions pour que deux droites soient perpendiculaires, 35 CHAPITRE III. Des Plans. Équation générale du plan, et ses diverses formes particulières, 36....43 Condition pour qu’un plan renferme une droite, 44 Condition pour qu’un plan et une droite soient parallèles ou perpendiculaires, 45....48 Distance d’un point à un plan ou à une droite, 49:25:52 Angle d’une droite et d’un plan, 53 ‘Angle de deux plans, et conGition pour qu'ils soient perpen- diculaires, etc. ; 54....6t Trouver la grandeur et la position de la plus courte distance de deux droites, 62....66

CHAPITRE IV.

Transformation des coordonnées.

Relation entre les droites ou les surfaces planes, et leurs pro-

jections, AXE One. nt Formules pour transformer les coordonnées rectangulaires en

d’autres obliques ou rectangulaires, DBane +79 Distance de deux points en fonction de leurs coordonnées obli- ,

ques, 76....78

Transformation de coordonnées obliques en d’autres obliques, 79....80

x TABLE DES MATIÈRES.

Nes.

Le degré d’une équation ne change jamais par des transforma-

tions de coordonhées, 82 Degré d’une section plane faite dans une surface, et formules

pour obtenir l’équation de cette section, 83....88 Formules d’Euler ; coordonnées polaires, 89....01

CHAPITRE V. Du Centre dans les surfaces.

Définition du centre, et moyen général de reconnaître si une

surface algébrique admet un centre, 92... 04 Recherche du centre dans les surfaces du second degré, : 95....09

CHAPITRE VI. Des plans diamétraux.

Définition d’un plan diamétral et d’un plan principal, 100..,104 Recherche d’un plan diamétral conjugué avec une droite donnée,

dans les surfaces du second degré, 105...100 Il existe toujours dans ces surfaces un plan principal au moins,

et au plus trois, 109...110 Réduction de l’équation générale du second degré à deux formes

simples, OR Cr 0

Discussion des cordes principales, l’on démontre que les trois systèmes existent toujours , ainsi que les trois plans prin- cipaux, et qu’un seul de ceux-ci peut être à une distance infinie, . 116.212

CHAPITRE VII.

Discussion des surfaces douées d'un centre.

Discussion de l’ellipsoïde, 124...127 Discussion de l'hyperboloïde à une nappe, 1287491 Discussion de l’hyperholoïde à deux nappes, 132.00 Du cône asymptote, 136...140 Recherche des génératrices rectilignes dans l’hyperboloïde, 141...146 Cette surface est gauche, parce que les droites d’un même sys-

tème ne se coupent pas, _ 147...150 Surface engendrée par une droite qui glisse sur trois autres, 10... 104

CHAPITRE VIIT.

Discussion des Surfaces dépourvues de centre.

Da paraboloïde elliptique, et de ses diverses sections, 155...159 Du paraboloïde hyperbolique , et de ses diverses sections, 160...163

Ces deux paraboloïdes peuvent être engendrés par une para- bole mobile, 164... 167

TABLE DES MATIÈRES. x} Nos, Recherche des génératrices rectilignes dans le paraboloïde hy- perbolique, 168...171 Cette surface est gauche, parce que les droites d’un même sys- tème ne se coupent pas, et sa génération par la ligne droite

peut être exprimée de quatre manières, 172: + 170 Surface engendrée par une droite qui glisse sur deux autres, en

restant parallèle à un plan donné, , 196...178 Cas la droite mobile glisse sur trois droites parallèles à un

même plan, 170...18I

CHAPITRE IX.

T'héorèmes sur la similitude des courbes et des surfaces quelconques ; sur les sections parallèles dans les surfaces du second degré, etc.

Conditions de similitude pour des courbes situées dans des plans

parallèles, 182...185 Application aux courbes du second degré, 1606...190 Les diverses sections parallèles faites dans une surface du second

degré, sont semblables, et leurs centres sont sur un même

diamètre, | IOI. . «197 Mode de génération commun à toutes les surfaces du second

degré, ; k 198. . . 199 Conditions de similitude pour les surfaces quelconques , et ap-

plication au second degré, 200...202 Deux surfaces du second degré, semblables entre elles, se cou-

pent suivant une seule courbe plane, 203...205

Dans deux surfaces du second degré quelconques, lorsque la courbe d’entrée. est plane, la courbe de sortie est également plane, 206...209

| | CHAPITRE X. | Des sections circulaires dans les surfaces du second degré.

Dans toutes les surfaces douées d’un centre, il existe deux séries

de plans parallèles qui donnent des sections circulaires, 210. .,213 Direction que doivent avoir ces plans dans chacune des trois surfaces, | 214.429

Parmi les surfaces dépourvues de centre, le paraboloïde ellip-

tique, seulement , admet deux séries de sections circulaires, 223.,.226 Deux cercles de deux séries différentes sont toujours situés sur

une même sphère, 227

CHAPITRE XI. Des Plans diamétraux conjugués obliques.

Moyen d'obtenir une infinité de systèmes de trois plans diamé-

Xi] TABLE DES MATIÈRES,

traux obliques qui soient conjugués entre eux,

La somme des carrés de trois diamètres conjugués est constante et égale à la somme des carrés des axes,

Le parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est équivalent à celui qui serait construit sur les axes,

Des plans diamétraux obliques dans les paraboloïdes,

CHAPITRE XII.

Discussion d’une équation numérique du second degré.

On commence par chercher le centre de la surface, et l’on y transporte l’origine ; si alors le terme constant était nul, la surface serait un cône,

Lorsque le terme constant n’est pas nul, on le rend positif; et, en appliquant la règle de Descartes à une équation du troi-

sième degré, on reconnaît si la surface est un ellipsoïde, ou :

l’un des deux hyperboloïdes, Exemples numériques.

Lorsque la surface n’a pas de centre unique, on établit des caractères exclusifs pour les deux paraboloïdes et pour les cylindres elliptiques, hyperboliques ou paraboliques. Exem- ples numériques ,

Conditions pour qu’une surface du second degré soit de révo- lution , et équations de son axe,

CHAPITRE XIII.

Des plans tangens aux surfaces courbes.

Définition générale du plan tangent, et équation de ce plan pour les surfaces du second degré,

Courbe de contact d’une telle surface avec un cône ou un cy- lindre circonscrit,

La tangente à une courbe quelconque se projette toujours sur la tangente à la projection de la courbe. Équations de cette tangente,

Équation du plan tangent pour une surface quelconque,

Équations de la normale, et angles de cette droite avec les axes coordonnés,

Le plan tangent peut être situé de diverses manières , ‘par rap- port à la surface qu’il touche, et il peut lui être en même temps sécant dans d’autres points ,

Dans les surfaces gauches, le plan tangent n’est pas le même pour les divers points d’une même droite,

Dans les surfaces développables, le plan tangent est commun pour tous les points de la même droite, et c’est pour cela que la surface peut se développer sur un plan,

X

234... 336

237...242

243...251

252...257

258...261 262... 263 264...265 266...269

270

2716 se A7

273

274. ..270

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE XIV.

Génération des Surfaces par le mouvement d'une ligne.

Manière générale d'obtenir équation du lieu géométrique par- couru par une ligne d’une espèce connue qui glisse sur plu- sieurs directrices,

Équation générale des cylindres, Exemple,

Équation aux différences partielles de ces surfaces,

Cas le cylindre doit être circonscrit à une surface donnée. Exemple, ;

Équation générale des surfaces coniques. Exemple,

Équation aux différences partielles,

Cas le cône doit être circonscrit à une surface donnée. Exemple,

Surfaces de révolution, Équatian en quantités finies,

Équation de la surface de révolution engendrée par une droite,

Équation du tore,

Équation aux différences partielles des surfaces de révolution,

Cas la surface doit être circonscrite à une surface donnée, Exemple,

Surfaces conoïdes, Équation générale en quantités finies,

Exemple du conoïde de la voûte d’arète en tour ronde,

Exemple de l’hélicoïde gauche,

Équation aux différences partielles des surfaces conoïdes,

Cas le conoïde doit être circonscrit à une surface donnée. Exemple, .

Manière de déterminer la fonction arbitraire quand on veut que équation générale d’une famille représente la surface indivi- duelle qui passe par une courbe donnée,

CHAPITRE XV.

xii}

Nes.

277 à » ° 270 280...9261 202. . .284

285...286 287. ..289 290...20I

292. . . 293 294... 206 297 298

209. ..302

303...304 305. ..307 308. ..309

310 311

312...313

314

Des Surfaces réglées, gauches ou développables.

Équatiou générale des surfaces gauches qui admettent un plan directeur,

Équation aux différences partielles de ces surfaces,

Exemple,

Génération et équation des surfaces gauches générales,

Exemple de la surface du biais passé,

Équation des surfaces développables, considérées comme défi- nies par deux directrices, on bien comme engendrées par une

. droite mobile toujours tangente à une courbe fixe,

Équation aux différences partielles,

3152::317 318 319 320. ..323 324...325

326... 328

.327

X1iv TABLE DES MATIÈRES.

Nos.

Exemple de l’hélicoïde développable, 329 Des surfaces développables considérées comme l’enveloppe d’un

plan mobile, 330...332 Équation de l’arète de rebroussement, | 333 Équation aux différences partielles de ces surfaces, 334 Problèmes des ombres. Deux solutions, 335...336 Des surfaces enveloppes. Exemples divers, _337...340 De la caractéristique , et de l’arète de rebroussement, 341...344

CHAPITRE XVI.

Des Lignes courbes, et de leurs diverses courbures.

Équations de la tangente à ‘une courbe quelconque ; angles de

cette droite avec les axes ; expression de l’élément de la courbe, 345...348 Équations du plan normal et du plan osculateur, 349...350 Sur la courbure et la torsion d’une courbe gauche, 351...353 Calcul de lPangle de contingence, 354...356 Expression du rayon de courbure d’une courbe, d’après l’angle

de contingence, À 357 Calcul du rayon et des coordonnées du centre de courbure, 358...350 Expression des cosinus des angles que fait le rayon de courbure

avec les axes coordonnés ; il en résulte une démonstration pds

théorème de Mécanique, 360 Calcul de l’angle de torsion, "SOLS. Caractères des points singuliers, | © 362...364 La courbe lieu des centres de courbure d’une courbe gauche,

‘n’est point une développée de celle-ci ; mais cependant il existe

une infinité de développées, situées tu sur la surface en-

veloppe des plans normaux, 365. ..366

CHAPITRE XVII. De la courbure des surfaces. Manière d’estimer la courbure d’une surface en chaque point, 36 Expression du rayon de courbure d’une section oblique ou nor-

male, 368...374 Interprétation du signe qui affecte ce rayon, 3795 Caractères analytiques pour les surfaces convexes ou à courbures

opposées: cas des surfaces développables, 376. .:378 Recherche des rayons principaux et des sections principales ; les

plans de ces courbes sont perpendiculaires entre eux, 379...381 Comparaison des rayons principaux avec les rayons de courbure

des autres sections normales, 382...385 Exemples de surfaces non-convexes ; des sections limites, 389. ..397

TABLE DES MATIÈRES. XY

Nes. Comparaison des rayons de courbure des sections normales avec les diamètres d’une ellipse ou d’une byperbole, 302 Ellipsoide ou hyperboloïde osculateur d’une surface, 393... .306 Des Ombilics: caractères analytiques pour trouver ces points, ainsi que la ligne des courbures sphériques, © 397...4or De la surface dont chaque point est un ombilic, 4o2

Des lignes de courbure : il existe deux séries de pareïlles lignes,

lesquelles se coupent à angles droits, et sont tangentes aux

sections principales. Exemples, 405...407 Expressions des deux rayons de courbure de surface; ils

coïncident avec ceux des sections principales, mais ils ne

sont pas les rayons osculateurs des deux lignes de courbure, 408...412 :

De la surface lieu.des centres de courbure, 413 Discussion sur le nombre des lignes de courbure qui passent par un ombilic. 414...417

Détermination des lignes courbure sur üne surface donnée; application à Pellipsoïde ces lignes se projettent sur le plan de l’axe maximum et de l’axe moyen, suivant des ellipses et

des hyperboles, 418...426 Des Ombilics sur lellipsoïde; l’analyse fait trouver aussi la ligne de courbure unique qui passe par ces points, 429...431

Lorsqu’on projette les lignes de courbure sur le plan de l’axe maximum et de l’axe minimum, les deux séries sont repré-

sentées l’une et l’autre par des ellipses, 432...433 Ces ellipses ont pour enveloppe quatre droites qui répondent

à une solution singulière de l’équation différentielle, 434 Remarques, 435...436 Équation des courbes de niveau: Exemple, 437... 438 Équation des lignes de plus grande pente. Exemples, 439...443

CHAPITRE XVIII. TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE. $ I. Notons préliminaires.

Définition des triangles sphériques , mesure de leurs angles 5 li-

mites de leurs côtés; triangle supplémentaire, 444...447 La somme des trois angles est toujours comprise entre deux et

six angles droits, 448...449 Expression de la surface d’an triangle sphérique, 450...45x

XY] TABLE DES MATIÈRES.

$ II. Formules générales. Nes.

Théorème fondamental qui‘fournit trois formules entre chaque

angle et les trois côtés, 452... .456 On en déduit des relations entre deux côtés et les angles opposés, 457 Relations entre deux côtés et deux angles, dont un est compris, 458 Relations entre:chaque côté et les trois angles, 459... .460

$ IIT. Résolution des triangles rectangles.

Il suffit de considérer les triangles un seul angie est droit ; et les formules précédentes , appliquées à ce cas, fournissent six

principes relatifs aux triangles rectangles, 461...468 La résolution de ces triangles présente six cas distincts, dont un seul admet deux solutions, 469. ..49r

$ IV. Résolution des triangles obliquangles.

Ce problème présente six cas distincts, dont le premier se résout par l’équation fondamentale, que l’on rend propre au calcul

logarithmique, 472.474 Application à la réduction d’un angle à l’horizon, 475 Résolution des cinq autres cas, 476...484

$ V. Remarques.

Discussion du deuxième et du cinquième cas, pour reconnaître

s’il y a deux solutions ou bien une scule, 485...486 Démonstration des analogies de Néper, 485...488 Expression du volume d’un parallélépipède, ou d’une pyramide |

triangulaire, en fonction des arètes et des angles compris, 489. .. 490

$ VI. Résolution des triangles sphériques dont les côtés sont très petits par rapport au rayon de la sphère.

On démontre qu’un triangle sphérique de ce genre correspond à

un triangle rectiligne qui aurait les {mêmes côtés, mais dont

les angles seraient moindres que ceux du triangle sphérique,

d’une quantité égale au tiers de l’excès sphérique, 491...494 Manière de faire usage de ce théorème ‘pour ramener la résolu-

tion d’un triangle sphérique à celle d’an triangle rectiligne, 495

ANALYSE.

APPLIQUÉE

fi

À LA GÉOMÉTRIE

DES TROIS DIMENSIONS.

PRARAAARANANNAANARA AAA AAA ANAARA RAM AAN AAA AANAAAANARARAN AAA NA AMAR AAN ANA AN RAA AANANS AS ARNAAN AAA NAN

CHAPITRE PREMIER.

Notions préliminaires.

1. Pour appliquer l’analyse à la Géométrie considérée dans les trois dimensions de l’espace, il faut, comme sur un plan, chercher d’abord le moyen d’exprimer par des équations la position des points et des lignes. Or, si l’on imagine trois plans fixes et connus de situation , tels d’ailleurs, qu'ils se coupent tous en un même point O , et deux à deux suivant des droites Fre.t. distinctes OX, OY, OZ, que l’onnomme axes des coordonnées; puis, que d’un point quelconque M de l’espace, on abaisse sur ces plans fixes, et parallèlement aux axes, les droites MA, MB, MC, ces trois distances seront dites les coordonnées du point M; et comme elles changeront en général de grandeur pour les divers points de l’espace, nous les désignerons respec- tivement par les variables +, y, z. Cela posé, je dis qu’un “point M est déterminé de position quand on connaît les valeurs de ses trois coordonnées, c’est-à-dire quand on sait que, pour ce point, on a les équations x 4, y =, z=—=c. En effet, si

I

4 CHAPITRE E, l’on porte sut OX une distance OD évale à a, et que, par l’ex- trémité D, on mène parallèlement à YZ, un plan indéfini BDC, ce plan contiendra évidemment tous les points de l’espace pour lesquels la coordonnée x est égale à a, et par conséquent il renfermera le point M en question. De même, en portant sur OY et OZ les distances OE=b et OF—c, puis, menant par les extrémités EetF, deux plans indéfinis AEC et AFB, respec- tivement parallèles à XZet XY, on verrait quele point cherché doit être contenu aussi dans ces deux nouveaux plans ; par conséquent ceux-ci détermineront par leur intersection avec CDB, un point unique pour la position de M, et ce point ne sera autre chose que le sommet du parallélépipède oblique construit sur les trois arètes OD, OE, OF, égales aux coor- données MA, MB, MC.

2. Toutefois, pour compléter la détermination du point M, il faut, dans les équations x = a, y —b, 2=—= c, tenir compte des signes des quantités a, db, e, afin de porter ces distances sur les parties positives OX, OY, OZ des axes coordonnés, ou sur leur prolongement OX’, OY’, OZ’, ainsi qu’on l’explique dans la Géométrie plane ; autrement il y aurait huit solutions, puisque Îles trois plans fixes qu’on doit regarder comme pro- longés indéfiniment, forment, en s’entrecoupant , huit angles trièdres dans chacun desquels le point M pourrait être placé à des distances absolues a, b, c. Sans insister ici sur les combi- naisons de signes qui répondent à ces divers angles , mais que le lecteur doit se rendre très familières, nous dirons seulement que quand le point M sera situé

ip l’angle OXYZ, on aura x=+a, y=+0, 2=+c;. dans l’angle OX'YZ, ...... x——a, y—+b, z=+#c; dans l'angle OXY'Z, ...... x—=+a, y—=—0, 2=+c; dans l'angle OX'V'Z, ...... Mar: PV DIN = + C;

puis, pour les angles trièdres situés au-dessous du plan XY , on aura

NOTIONS PRÉLIMINAIRES, 13

dans Pangle OXY7Z', ...... x—<+La, FER 2—=—C; dans l’angle OX’YZ’, ...... æ——a, 7 =+0, 2=—c; dans l’angle OXYZ, ...... x—=+a, 7—=—b, 2=—0c; dans l'angle OX'Y'Z", ....., x=a, y=—0b, 2=—c.

3. Les pieds A, B, GC, des trois coordonnées du point M, sont ce qu’on appelle les projections de ce point, fattes paral- lèlement aux droites OX, OY, OZ; et elles deviendraient les projections orthogonales, si les plans coordonnés étaient choisis de manière que chacun d’eux fût perpendiculaire aux deux autres, disposition que l’on adopte ordinairement. Dans tous les cas, il est utile de remarquer :

1°. Qu'un point de l’espace a toujours deux coordonnées de communes avec chacune de ses projections ; ainsi, M et C ont évidemimnent le même x, MA—CE, et le même y, MB—CD : M et B ont les coordonnées communes x = MA —BF,.et z= MC = BD : enfin M ct À ont le même y, MB = AF, et le même z, MC—= AE. .

rue deux projections d'un même point ont toujours une HR commune; ainsi, les projections B et C ‘ont le même x, BF = CE: B et À ont ie même z, BD = AE: A et C ont le même y, AF CD.

4. D’après cela , il est aisé de voir que les trois équations = a, F—=b, 2=6, qui déterminent le point M, équivalent à la connaissance de deux de ses projections, donttéei qui servent dans la Géométrie descriptive à fixer la position de ce point. En effet, pour définir analytiquement la projection CG sur le plan XY , il faudrait donner deux équations telles que æ—a et y —b: pour définir la projection B, on devrait donner x a/ et z—c; mais ces quatre équations se rédui- sent à trois, parce que, d’après la deuxième remarque du numéro précédent, on doit toujours avoir la condition a'— a. Cette dépendance entre les projections d’un mème point sur deux plans, se retrouve dans la Géométrie descriptive, puis- que l’on sait qu'après le rabattement des plans, les deux pro-

1%

Fire. 2;

A CHAPITRE Î.

jections orthogonales doivent toujours être situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre.

5. En outre, quand une fois les deux projections G et B sont fixées par les équations x —aet y —0, x —aet z=c, la troisième projection À s’ensuit nécessairement ; car, devant avoir (n° 3) le même y que la projection C, et le mème z que la projection B, elle se trouvera définie par les équations Jy=b et z=c.Si d’ailleurs on voulait déduire graphique- ment le point À des deux projections C et B , il suflirait évi- demment tracer sur les plans fixes , et parallèlement aux axes, les droites CE et BF, EA et FA.

6. Puisqu’un point est déterminé par ses trois coordonnées, si l’on donne en nombre celles des points M’ et M”, il doit être possible de calculer la distance de ces deux points; et c’est ce que nous allons faire, en supposant ici que les axes sont rectangulaires. (voyez, pour le cas des axes obliques, le 78.) Menons donc les coordonnées M'C— 2, C'D'— 7", OD'’ x" relatives à M’, et les coordonnées M'C"—z", C'D'= y", 0D"— x”, qui se rapportent à M"; puis, joignons ces deux points et tirons la droite M"P parallèle à CC’. Le triangle M'M'P sera évidemment rectangle en P , et donnera

M'M" V/MP?E (z! 3"); N

mais si l’on mène C’Q parallèle à OX, le triangle C'QC sera aussi rectangle en Q, et fournira l’équation

M'P C'C’ = (x 2 + (y 7"):

d’où l’on conclura, pour la distance cherchée,

mm go mm, / LAVER UP 7 4 Q ‘4 7] f 1\S MM = Va) + + 2. S'il s’agissait d’avoir la distance du point M’ à l'origine O, il suffirait d'exprimer que M” coïncide avec ce dernier point, en posant x"— 0, ÿ'—0, z"—0 ;etil en résulterait

OM = Var pt 7,

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5

Dans ces deux formules , on devra toujours prendre le radi- cal positivement , puisqu'il ne peut être question que de la distance absolue des deux points proposés. AU,

7. Avant de nous occuper des lignes, il est à propos de généraliser nos idées sur la signification géométrique des équa- tions à une ou à plusieurs variables, lorsqu’on embrasse les trois dimensions de l’espace. D'abord , une équation telle que x a, convient, même en laissant les axes obliques, à tous les points qui se trouvent à une distance a du plan YZ, cette distance étant comptée parallèlement à OX ; et d’ailleurs elle ne convient évidemment qu’à ces seuls points: par consé- quent l’équation x— a représente, dans les trois dimensions, un plan indéfint parallèle à YL. De même, 7°+ py+ q—=0, qui donnera deux valeurs constantes y ab, a pour lieu géométrique deux plans parallèles à XZ; et en général, toute équation à une seule variable représente un ou plusieurs plans parallèles aux deux axes dont les coordonnées n’entrent pas dans cette équation. 5

Il résulte de que z o est l'équation caractéris- tique du plan XY indéfiniment prolongé, et que 7 0 et æ 0 représentent les deux autres plans coordonnés XZ et YZ. |

8. Une équation à deux variables, f(x, y) 0, appartient sur le plan XY à une suite de points qui généralement for- mentune courbe CCC”; mais si, par les divers points de cette ligne , on mène des parallèles à l’axe OZ, on obtiendra une surface cylindrique, dans le sens général de ce mot. Or, un point quelconque N de cette surface, quel qu’en soit le z,

aura toujours le même x et le même y que sa projection C

(n° 3); par conséquent les coordonnées de tous les points de ce cylindre satisferont à la relation f(x, y)—0o, qui ne con- tient pas la variable 1; tandis que tout point L pris hors de cette surface, ayant une projection G qui ne tombera pas sur la courbe CCC”, ne pourra vérifier par ses coordonnées æ==OH, y = GH, l’équation proposée. De on doit con- clure que l'équation f(x, y) = 0 représente une surface cyx-

Fc. 37

6 CHAPITRE I.

lindrique parallèle à l’axe OZ , et dont la trace sur Îe plan XY est donnée aussi par la même équation, quand on se borne à considérer deux dimensions de l’espace. Une consé- quence analogue s’applique aux équations f(x, z)=0o ou f'(r, z) = 0, dont chacune, prise isolément, appartient à un cylindre paralièle à OY ou à OX, c’est-à-dire parallèle à l'axe des coordonnées qui n'entrent pas dans l'équation.

9. Observons, en passant, que si l’on voulait définir analy- tiquement Ja courbe CCC” seule , il faudrait employer les équations simultanées f(x, y) —0oetz=—0 ; parce qu’alors il n’y aurait plus, sur tout le cylindre, que les points de sa base qui vérifieraient à la fois les deux relations citées.

10. Sans répéter des raisonnemens analogues, on peut con- clure, comme un cas particulier du précédent, que quand l’équation à deux variables est du premier degré, c’est-à-dire de la forme y ax + b, elle appartient non-seulement à une droite PQ (fig. 3) dont on sait déterminer la position sur le plan XY, mais encore à tous les points du plan PQRS mené par cette droite parallèlement à l'axe OZ; en effet, ce plan n’est autre chose qu’un cylindre dont la base serait rectiligne. De même , une équation du premier degré telle que

mx + nz = p Ou my + nz = gq,

représentera un plan parallèle à OY ou à OX.

11. Enfin, quand l’équation proposée renferme trois va- .xiables, comme F(x, y, z)=0o, il y en a nécessairement . deux auxquelles on peut donner des valeurs arbitraires; si

donc nous posons seulement z —c, l'équation FT OC) ET contiendra encore deux variables , et représentera (n° 8) une surface cylindrique parallèle à OZ ; mais comme on ne doit prendre ici que les points de cette surface qui satisfont À la condition z— c, il s'ensuit que, par cette première hypo- thèse, on obtiendra une courbe , savoir : la section faite dans ce cylindre par le plan z—c, parallèle à XY. Si l’on pose ensuite z— c’, on trouvera tous les points de la courbe tracée

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 7

par le plan z = c’ dans le nouveau cylindre F(x, y, &)—o; et en continuant ainsi, on obtiendra une infinité de courbes diverses situées dans des plans parallèles à XY, et aussi rap— prochées que l’on voudra les unes des autres; par conséquent le lieu géométrique d’une équation à trois variables, . .” Fix, y,2)—=0o, est une surface dont la nature dépendra de la forme de la fonction F. D'ailleurs, on ne saurait prétendre que ce lieu est un solide, puisqu'alors chaque plan sécant devrait donner pour section une aire, tandis qu’il ne produit, en coupant la surface cylindrique F(x, y,c)—=0, qu’une courbe à une ou plusieurs branches , identique avec la base de ce cylindre.

12. De cette discussion, il résulte que toute équation isolée, soit qu’elle renferme une, deux, ou trois variables, représente une surface , laquelle devient néanmoins totalement imagi- naire quand aucun système de valeurs réelles ne satisfait à l'équation proposée ; ou bien, si l’on ne peut y satisfaire qu’en partageant cette équation en deux ou trois autres, la surface se réduit à un nombre limité de lignes réelles, ou de points réels, parce qu’alors on tombe sur le système de plusieurs équations simultanées. I1 n’y à pas lieu de considérer ici des équations qui renfermeraient plus de trois variables propre- ment dites, puisque chaque point de l’espace est suffisamment déterminé par ses trois coordonnées : cependant, si l’on re- sardait les variables au-delà de trois, non plus comme des coordonnées, mais comme des paramètres qui influe- raient sur la forme et la position de chaque surface indivi- duelle , on tomberait sur des solides et sur la théorie des surfaces enveloppes, dont nous parlerons plus loin (n°* 277 et 337).

13. Maintenant, si l’on fait concourir deux équalions si- multanées F(x,Y,z)—=0o et F'(x,y,z)—=o, c'est-à-dire dans lesquelles les variables seront censées recevoir à la fois les mêmes valeurs, ce qui n’en laisse plus qu’une seule d’ar- bitraire , z par exemple , ce système représentera une ligne droite ou courbe, puisqu'il ne pourra convenir qu'aux points

Fire. 4.

Fc. 4,

8 CHAPITRE I.

situés en même temps sur les deux surfaces, c’est-à-dire à leur commune section. Réciproquement, le seul moyen que nous ayons pour définir une courbe dans l’espace, étant d’as- signer deux surfaces connues dont elle soit l’intersection, nous ne pourrons représenter analytiquement cette ligne que par deux équations simultanées. C’est à cela que revient en effet la méthode des projections, que nous allons faire connaître, et dont l’avantage consiste en ce que, parmi le nombre indé- fini de surfaces différentes qui peuvent passer par une courbe donnée, cette méthode emploie de préférence deux cylindres dont chacun est parallèle à l'un des axes coordonnés , et dont les équations se trouvent conséquemment plus simples, puis- que, d’après le 8, elles ne renfermeront chacune que deux variables.

14. Commençons par les lignes droites, et pour mieux fixer les idées , supposons les axes rectangulaires , et regardons OZ comme vertical. Alors, imaginons que de tous les points de la droite MM" dans l’espace, on mène des perpendiculaires au plan XY (si les axes étaient obliques, il faudrait dire: des parallèles à OZ) ; elles rencontreront ce plan en des points C,C, C",... dont l’ensemble formera ce qu’on appelle la projection de MM" sur ce plan; et cette projection sera tou- jours rectiligne, puisque les perpendiculaires seront évidem- ment situées toutes dans un même plan parallèle à OZ, lequel se nomme le plan projetant de MM”. Si l’on projette de même

cette droite sur les deux autres plans fixes par des perpendicu-

laires (ou en général par des lignes parallèles’ à l’axe qui est hors du plan que l’on considère), on obtiendra les trois pro- jections AA", BB”, CC”, dont deux suffisent pour déterminer la droite MM”. En effet, supposons que l’on nous donne AA” et BB"; en concevant par la première un plan parallèle à l’axe OX, et par la seconde un plan parallèle à OY, ces deux plars, dont la situation n’a plus rien d’arbitraire, devront évidem- ment renfermer chacun la droite MM”, et ils en fixeront la position dans l’espace par leur intersection.